赵宇飞高材生、哥伦比亚大学助理培植Mehtaab Sawhney（索尼）巨乳 av女優，又为数学界孝顺了一项病笃着力——

与牛津大学培植Ben Green（格林）一齐，解说了一项对于素数分散的新规章。

毛病是解说顶用到了与Gowers 范数干系的期间，而 Gowers 范数一运转是拿来征询等差数列的，看上去和素数规章风牛马不相及。

以致作家索尼我方也默示，"看成一个‘局外东说念主’，险些不行能判断出这些事情是干系的"。

是以，这项征询不仅在素数限制是一项病笃职责，也揭开了高尔斯范数的应用潜能。

多伦多大学培植John Friedlander评价说，索尼和格林的这项征询标明高尔斯范数不错看成新限制的弘大器具。

最早和陶哲轩一同将素数和 Gowers 范数预计到一齐的数学家Tamar Ziegler（皆格勒），也对索尼和格林的征询赐与了高度评价：

看到我前一段期间猜度的东西有了出东说念主预料的新应用，让我以为很原理。

解说素数分散新规章

2018 年，Friedlander 和好意思国罗格斯大学的 Iwaniec 建议了"高斯素数猜想"（Gaussian primes conjecture）：

存在无尽多个素数 p、q，使得 p ² +4q ² 亦然素数。

（Friedlander 和 Iwaniec 的配合不错追猜度上个世纪，1997 年他们一同解说了 a ² +b ⁴不错构成大都个素数）

格林和索尼不仅解说了这一猜想，还将其实施到了更多的情况——

对于得志 n ≡ 0 或 n ≡ 4 ( mod 6 ) 的正整数 n，均存在无尽多个素数 p 和 q 使得 p ² +nq ² 亦然素数。

同期，格林和索尼还为这些素数的数目给出了渐近公式：

其中∧ ( n ) 是 von Mangoldt 函数，用于检测 n 是否为素数或素数的幂，N>1，W 为权函数，κ _n 是一个与 n 相关的常数：

显着，得志条目的素数数目不行能通过成功盘算获得。

于是，格林和索尼礼聘先将要解说的论断弱化，也即是先放宽一下拘谨条目——先将 p 和 q 的鸿沟放宽到"约略素数"。

举个例子，若是咱们要找出 1-200 之间的"约略素数"，不错找到与 2、3、5、7 这几个小素数同期互素（最大公因数为 1）的数，这些数字即为 1-200 之间的"约略素数"。

（这些"约略素数"当中，骨子上不是素数的数，算上 1 也唯有 5 个。）

格林和索尼解说，通过对两个"约略素数"进行平素并将它们相加，不错获得无限多个素数。

接下来，他们就需要解说使用"约略素数"构建的鸠集，和使用信得过素数构建的鸠集"阔气相似"。

其中就波及了最毛病的期间冲破—— Gowers 范数的使用。

Gowers 范数是一种测量函数"伪立时性"的器具，情欲超市未删节版全集2001 年由数学家蒂莫西 · 高尔斯（Timothy Gowers）建议。

2018 年，陶哲轩和塔玛尔 · 皆格勒（Tamar Ziegler）找到了一种将高尔斯范数与" Type I 和"与" Type II 和"之间预计起来的程序。

具体到这项征询，作家领先通过筛法将问题简化为" Type I 和"（左）与" Type II 和"（右）的估量：

筛法的中枢念念想是，通过对这两类和的估量，过滤掉不得志素数条目的数，从而集结分析那些可能使 p ² +nq ² 为素数的数值。

其中，" Type I 和"聚焦于单个变量的局部分散，匡助管制低阶孝顺；" Type II 和"则存眷双变量交互，管制高阶分散。

进一阵势，作家将问题滚动到二次虚数域Q ( √ ( -n ) ) ，并诈欺数域中的梦想理解、范数分散以及素梦想的性质来征询想法数列的素数性。

具体来说，在整数环 Z 中，征询 x ² + ny ² 是否为素数，等价于在 Q ( √ ( -n ) ) 均分析主梦想 x+y √ ( -n ) 是否为素梦想。

接下来就轮到 Gowers 范数登场了。

为了死一火" Type II 和"，论文界说了函数 f ( x ) 和 f ’ ( y ) ，其中∧ _Cram é r ( x ) 是 von Mangoldt 函数的低复杂度肖似：

作家通过引入结合定理和逆定理，使用 Gowers 范数分析 f ( x ) 和 f ’ ( y ) 的伪立时性，从而解说了它们在大部分情况下对二次型 x ² + ny ² 的孝顺是可控的。

也即是说，作家通过筛法和 Gowers 范数，解说了毛病的中间完毕——x， y 的组合分散是均匀的。

最终的抒发式中，主项开始于数域中范数 N ( x+ y √ ( -n ) ) 的分散，诈欺数域的素梦想定理，不错获得主项。

" Type I 和"与" Type II 和"带来的罪戾项，差异不错通过筛法分析和 Gowers 范数的均匀性假定来死一火。

两者皆集后，罪戾项对主项的影响是次级的。

将主项和罪戾项皆集，最终得出想法公式：

结缘于 Gowers 范数

这项征询的两位作家——格林和索尼，提及来亦然颇有人缘。

格林是牛津大学数学培植、陶哲轩的恒久配合者，同期也曾英国皇家学会 Fellow。

索尼一运转在宾夕法尼亚大学读盘算机，然后在2017 年转到 MIT 主修数学，成为了赵宇飞的学生，之后又在赵宇飞部下读博，并于本年 6 月毕业。

本年头索尼成为了克莱征询员，现时索尼在哥伦比亚大学担任教职。

让两东说念主走到一齐的，大致恰是此次征询顶用到的 Gowers 范数。

Gowers 范数是 1998 年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西 · 高尔斯（Timothy Gowers）在解说塞迈雷迪定理时建议的。

塞迈雷迪定理与等差数列干系：

若一个整数集 A 具有正的当然密度，则对浪漫的正整数 k，都不错在 A 中找出一个包含 k 项的等差数列。

所谓具有正直然密度，即是当 n 趋于无尽时，A 与 1，2， … ，n 这个数列的交加结元素个数与 n 的比值大于 0。

到了 2017 年，陶哲轩和格林一齐给出了 k=4 时的新上界。

2022 年，正在陶哲轩那儿读研二的James Leng（小冷）运转征询起了高尔斯的表面，并引起了索尼和他的师弟Ashwin Sah（小萨）的珍贵。

最终，。

与此次索尼和格林的征询雷同，三东说念主在其中也使用了 Gowers 范数的逆定理，况兼这项逆定理的发现者恰是索尼、小冷和小萨。

趁机提一句，打从本科起，索尼和小萨即是互相的科研搭子，关系密切到索尼主页列出的 70 篇论文里，有 60 篇都带小萨的名字。

而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价即是：

（MIT）的本科生征询有着悠久的历史和传统，但在论文的质地和数目上，都够不上 Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 的水平。

说回索尼本东说念主，本年七月，索尼和格林终于在爱丁堡的一次会议上会面。

索尼说我方一直十分欣悬赏林，并默示格林 20 年前解说的一项始创性着力恰是让他礼聘这个主题的原因之一。

格林也对这位年青的数学家印象深远，称索尼是一位凸起的数学家，并"以某种形貌知说念一切"。

于是，两东说念主决定配合，并将想法聚焦在了此次的"高斯素数猜想"。

到牛津窥探一周后，索尼和格林对其解说有了念念路，并于本年 10 月份发布了论文预印本。

而后，两东说念主又不绝配合，建议并解说了Furstenberg-S á rk ö zy 定理的改动界限。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2410.04189

参考链接：

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-uncover-a-new-way-to-count-prime-numbers-20241211/

—  完  —

点这里� � 存眷我，难忘标星哦～

一键三连「共享」、「点赞」和「在看」

科技前沿发扬日日相逢 ~